Пожалуйста, авторизуйтесь:
ФГОУ ВПО Сибирский федеральный университет
Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
|
|
Исаев Вадим Исмаилович
-, - (Новосибирский государственный университет, аспирант)
| |
Секция: Modern problems of mathematical modelling and computational technologies
Тема доклада:
| |
|
"О возможностях метода коллокаций и наименьших квадратов" |
| |
|
"On the Collocations and Least Squares Method Capabilities" |
Тезисы доклада:
| |
|
Метод коллокаций и наименьших квадратов (КНК) - это проекционный метод численного решения задач для уравнений математической физики. В нём расчётная область покрывается сеткой, а решение в каждой её ячейке представляется в виде линейной комбинации базисных функций. Для определения неизвестных коэффициентов разложения решения по базису записывается переопределенная система линейных алгебраических уравнений (вспомогательная СЛАУ), состоящая из коллокаций уравнений исходной задачи, условий согласования и граничных условий. Применение переопределенных систем в методе КНК дает зачастую вспомогательную СЛАУ, обусловленную лучше, чем при использовании метода коллокаций без наименьших квадратов. При этом в нём не применяются такие приемы, как внесение в уравнения исходной задачи искусственной вязкости, искусственной сжимаемости и др.
В данной работе предложены и реализованы новые варианты метода КНК для уравнений Навье-Стокса. Для исследования их возможностей здесь используется задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в каверне с движущейся верхней крышкой. Присутствие особенностей в углах каверны в этой задаче порождает сложную картину течения. Наличие большого количества результатов различных исследователей, опубликованных в виде таблиц, сделало её эталонным тестом для методов решения уравнений Навье-Стокса.
Возможности метода КНК расширялись здесь за счет применения ортогональных алгоритмов линейной алгебры, использования нового варианта известного метода ускорения сходимости итераций решения СЛАУ, а также за счёт выбора параметров метода (КНК), основанного на результатах исследования их влияния на обусловленность вспомогательной СЛАУ и другие его свойства. Реализованные здесь улучшения метода КНК позволили проводить расчёты на однопроцессорных ПЭВМ на сетках с числом ячеек до 1280*1280 включительно. При использовании сетки 1280*1280 число неизвестных вспомогательной СЛАУ составляет 25*10^6. Полученные здесь результаты для задачи о течении в каверне совпадают с найденными высокоточными методами (Botella and Peyret, 1998; Гаранжа, Коньшин, 1999) с точностью выше, чем 10^(-6) при Re=100 и 10^(-5) при Re=1000. Мелкие сетки позволяют выявить подробные детали вихревой структуры течения. Так, впервые в расчете течения при Re=7500 обнаружен слабый угловой вихрь BR4 (согласно обозначениям Ghia, 1982). При Re=10000 здесь, как и в работах некоторых исследователей, наблюдается отсутствие стационарного режима течения. Всё это свидетельствует о хороших возможностях метода КНК для численного моделирования течений вязкой жидкости.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 06-01-00080-а.
|
| |
|
The collocations and least squares method (CLS) is a projection method of solving integral and differential equations. A computational domain is covered by a grid in this method. An approximate solution is sought in the form of a linear combination of basic functions in each cell. Coefficients of linear combinations for all cells are found from an overdetermined system of linear algebraic equations (auxiliary SLAE). The latter consists of collocations equations, matching conditions between adjacent cells, boundary conditions. Collocations equations are derived from requirements that the approximate solution must satisfy the equations of a considered problem at certain points in each cell. Use of overdetermined systems in the CLS method yields better conditioned auxiliary systems in comparison with pure collocations method case. At the same time no tricks like artificial viscosity or artificial compressibility introduction into the equation of the original problem are used in the CLS method.
New versions of the CLS method for Navier-Stokes equations are proposed and implemented here. Abilities and other improvements of the method are demonstrated on a 2D lid-driven cavity flow problem. The presence of singularities at the two cavity corners where the velocity is discontinuous provides rich fluid flow physics presented by multiple eddies depending on Reynolds number. There are a lot of results published in the form of tables by various researchers for this problem. Therefore, the cavity flow problem is considered by many authors as a benchmark test for the assessment of numerical methods and validation of Navier-Stokes codes.
Here, abilities of the method were extended by a use of orthogonal linear algebra algorithms and
a new version of a known method for convergence acceleration of an iterative process of SLAE solving. The third enhancement of the CLS method carried out here is a good choice of method's parameters based on results of an investigation of their influence on the auxiliary SLAE conditionality and other method’s properties. Improvements of the CLS method proposed here allow one to carry out lid-driven cavity flow calculations in a wide range of Reynolds numbers (from 1 to 7500) on fine grids (up to 1280*1280). There are about 25*10^6 unknowns in the auxiliary SLAE on the grid 1280*1280. The results for the cavity flow problem obtained here coincide with ones obtained by highly accurate methods (Botella and Peyret, 1998; Garanzha, Konshin, 1999) with the accuracy which is better than 10^(-6) for Re=100 and 10^(-5) for Re=1000. Fine grids have a good resolution capability and allow revealing small-scale vortex structures of the flow. A very small vortex BR4 (according to Ghia’s notations, 1982) was detected for the first time in numerical calculation of the cavity flow at Re=7500 here. A stationary flow regime is not observed at Re=10000 in the present investigation as in papers of other researchers. The results of this work show that there is a good potential for using the CLS method in the numerical modeling of viscous fluid flows.
The work was supported by the RFBR, Project No. 06-01-00080-а.
|
|
|
