Краевые задачи для дифференциальных уравнений, в том числе задачи с внутренними граничными условиями, допускают две формулировки - интегральную постановку в виде законов сохранения и дифференциальную, с непосредственной аппроксимацией граничных условий. Для разностных методов тоже возможны обе эти формулировки, но с тех пор, как были созданы схемы сквозного счета, второй способ, опирающийся на непосредственную аппроксимацию граничных условий, оказался незаслуженно забытым. Негативная черта балансных соотношений состоит в том, что на внутренних границах их сложно аппроксимировать с необходимой точностью. Это особенно сложно сделать, если речь идет о схемах высокого порядка точности.

В докладе исследуются компактные разностные схемы для эллиптических и параболических уравнений в неоднородных областях. На внутренних границах используются разностные граничные уравнения, основанные на одномерных многоточечных аппроксимациях потоков. Отмечается, что для численной реализации метода возможны два эквивалентных пути. Первый алгоритм классический, он основан на локальных преобразованиях фрагментов матрицы к трехдиагональному виду. Второй алгоритм использует параллельный расчет в однородных подобластях. Созданный метод является устойчивым для любых порядков при обычных ограничениях на матрицу системы разностных уравнений.

Метод может быть использован непосредственно для неоднородных областей, и в качестве способа декомпозиции задач в сложных областях на геометрически более простые задачи, с постановкой "мягких" граничных условий на границах подобластей. В качестве таковых естественно использовать разностные аппроксимации равенства левых и правых производных. Метод может быть применен также в задачах интерполяциии при построении кривых и поверхностей.

Работа поддержана грантами № 06-01-00030 и № 08-01-00264 Российского фонда фундаментальных исследований.

Boundary-value problems for the differential equations, including problems with internal boundary conditions, allow two formulations - an integrated statement in the form of conservation laws and differential, with direct approximation of boundary conditions. For the difference methods both of these formulations are also possible but since schemes of the cross-through calculation have been created, second method, based on direct approximation of boundary conditions, was undeservedly forgotten. The negative feature of balancing relations is that at internal borders it is difficult to approximate with the necessary accuracy. This is particularly complicated to do if is a question of the high- order schemes.

The report explores compact difference schemes for parabolic and elliptical equations in inhomogeneous domains. On internal boundaries there are in use the boundary difference equations based on one-dimensional multipoint approximation of fluxes. It is noted, that for numerical realization of the methods two equivalent ways are possible. The first algorithm is classical; it is based on local transformations of fragments of matrix to a three-diagonal form. The second algorithm uses parallel calculation in homogeneous subdomains, and . Established method is stable in any order, with ordinary minor restrictions on the matrix of the system of differential equations.

The method can be used directly for inhomogeneous domains, and as a way for the decomposition of boundary problems in complex domains on more geometrically simple problems, with the setting of "soft" boundary conditions on the boundary of subdomains. As such it is natural to use difference approximation of equality of the left and right derivatives. The method can be applied also in interpolation problems by the construction of curves and surfaces.

Work is supported by grants № 06-01-00030 and № 08-01-00264 of the Russian fund of Basic Researches.