|
Интерес к классическому случайному блужданию обусловлен широким
спектром применения в области прикладной физики и математики.
Модели случайного блуждания используются при решении большого
круга задач методом Монте-Карло.
Квантовая физика открывает новые варианты приложений: квантовая
диффузия, квантовые стохастические процессы, квантовые блуждания.
Модели квантового случайного блуждания так же представляют большой
научный интерес в связи с соответствием некоторым задачам
рассеяния для уравнения Шредингера на псевдоодномерных структурах.
В отличие от классического случая, одномерная блуждающая квантовая
частица характеризуется вектором амплитуд с соответствующими
значениями киральности.
Квантовым случайным блужданием будем называть унитарное
преобразование над пространством состояний киральности. Особенно
интересен случай k-мерного адамаровского блуждания с преобразованием Адамара H,
близкий по свойствам симметричному классическому блужданию.
Теорема 1. Вероятность возвращения P(0,t) адамаровской квантовой частицы в
пространствах двух и трех измерений H2 и
H3 имеет асимптотику, аналогичную одномерному случаю:
P(t)~1/(pi*t). Более того, асимптотический характер вероятности
возвращения не зависит от начального состояния киральности
квантовой частицы.
В общем случае квантовое случайное блуждание характеризуется
унитарным преобразованием эволюции, которое в одномерном случае
может быть записано как: M(tetta), 0<=tetta<=pi.
Теорема 2. Пусть эволюция одномерного квантового блуждания
описывается оператором M(tetta). Тогда:
При tetta=0 квантовое случайное блуждание невозвратно: P(t)=0 как только t>0.
При tetta=pi квантовое случайное блуждание возвратно и P(n,t)=0 как только t>0 и |n|>1
независимо от начального состояния.
При 0 < tetta < pi квантовое случайное блуждание возвратно и P(0,t) ~ g(tetta)/t
независимо от начального состояния.
В общем случае оператор эволюции квантового случайного блуждания в
пространстве нескольких измерений зависит уже от нескольких
параметров. Интересно дать полную характеристику возвратных
состояний квантовой случайной частицы в зависимости от значений
этих параметров.
Не менее интересно изучить возвратность блуждающей частицы на
множестве дробной размерности Хаусдорфа. Сложность
аналитических исследований на объектах такой природы не дает
возможности получить выражение для вероятности возвращения в
исходную точку. Однако, при изучении данной характеристики, метод
компьютерного моделирования дает вполне удовлетворительные
результаты.
Нами были изучены блуждания на троичной и пятеричной решетке
Менгера. Данное множество является промежуточным объектом между
двумерным и трехмерным пространством. Численное моделирование
позволяет делать вывод о невозвратности блуждающей частицы на
множестве такой размерности.
|
